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Ensembles de nombres et calcul algébrique

Ensembles N, Z, D, Q, R, inclusions, irrationalité de √2, intervalles, valeur absolue, identités remarquables et techniques de calcul algébrique.

Introduction

Historiquement, la construction des nombres s'est faite par nécessités successives. Les entiers naturels permettaient de compter des objets indivisibles. Mais comment partager un bien, ou mesurer une dette ? Il a fallu inventer les fractions, puis les nombres négatifs. La découverte par les pythagoriciens de grandeurs incommensurables (comme la diagonale d'un carré de côté 1) a provoqué une véritable crise mathématique, forçant l'esprit humain à concevoir des nombres qui ne sont pas des fractions : les nombres irrationnels.

La maîtrise parfaite des ensembles de nombres et des règles du calcul algébrique est le socle absolu des mathématiques du lycée. C'est la « grammaire » élémentaire sans laquelle aucun raisonnement analytique n'est possible. Ce chapitre pose ces fondations --- accroche-toi, on va construire tout ça ensemble !

Les Ensembles de Nombres

Les ensembles usuels

📖Définition — Les ensembles de nombres

On définit les ensembles de nombres fondamentaux suivants :

L'ensemble des entiers naturels, noté $\mathbb{N}$ . Ce sont les nombres entiers positifs ou nuls : $\mathbb{N} = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots\}$
L'ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ . Il contient les entiers naturels et leurs opposés : $\mathbb{Z} = \{\dots ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \dots\}$
L'ensemble des nombres décimaux, noté $\mathbb{D}$ . C'est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ , où $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ . Un nombre décimal a un développement décimal fini.
L'ensemble des nombres rationnels, noté $\mathbb{Q}$ . C'est l'ensemble des nombres pouvant s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ , où $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ .
L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ . Il contient tous les nombres rationnels ainsi que les nombres irrationnels (ceux qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ). Il représente tous les points d'une droite graduée.

💡Remarque — Notations

L'astérisque en exposant ( $^*$ ) signifie qu'on retire le zéro de l'ensemble. Par exemple, $\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ . Le signe $+$ en exposant désigne les éléments positifs ou nuls (ex : $\mathbb{R}^+$ ), et le signe $-$ les éléments négatifs ou nuls (ex : $\mathbb{R}^-$ ).

La chaîne d'inclusions

✦Proposition — Inclusions successives

Les ensembles de nombres vérifient la chaîne d'inclusions suivante : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ Chaque ensemble est contenu dans le suivant. Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal (car $n = \frac{n}{10^0}$ ), et ainsi de suite.

Retiens bien cette chaîne ! Pour déterminer la « nature » d'un nombre, tu cherches le plus petit ensemble auquel il appartient.

⚠️Piège — Confondre les ensembles

$\frac{6}{3} = 2$ est un entier naturel, pas juste un rationnel ! Simplifie toujours avant de conclure.

À l'inverse, $\frac{1}{3}$ n'est pas un décimal : son développement décimal est infini ( $0{,}333\dots$ ). C'est un rationnel non décimal.

Déterminer la nature d'un nombre

🔧Méthode — Trouver le plus petit ensemble d'appartenance

1
Simplifie au maximum l'expression (racines, fractions, produits remarquables).
2
Regarde si le résultat est un entier, un décimal ou un rationnel.
3
Pour savoir si un rationnel $\frac{a}{b}$ (irréductible) est décimal : décompose $b$ en facteurs premiers. Si les seuls facteurs sont $2$ et/ou $5$ , c'est un décimal. Sinon, c'est un rationnel non décimal.

▶Exemple — Déterminer la nature d'un nombre

Détermine le plus petit ensemble de $A = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ et $B = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ .

L'irrationalité de $\sqrt{2}$ (démonstration classique)

Il est crucial de savoir démontrer qu'un nombre n'appartient pas à un ensemble. Voici la preuve la plus célèbre de l'histoire des mathématiques !

📐Théorème — Irrationalité de

\sqrt{2}

Le nombre $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

🔧Méthode — Raisonnement par l'absurde

On veut montrer que $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire sous forme de fraction. On va supposer le contraire et montrer que ça mène à une contradiction.

1
On suppose que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ avec $a, b \in \mathbb{N}$ , $b \neq 0$ , et la fraction irréductible.
2
On élève au carré : $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , donc $a^2 = 2b^2$ . Ainsi $a^2$ est pair, donc $a$ est pair.
3
On écrit $a = 2k$ . Alors $(2k)^2 = 2b^2$ , soit $4k^2 = 2b^2$ , donc $b^2 = 2k^2$ . Ainsi $b$ est aussi pair.
4
$a$ et $b$ sont tous les deux pairs : ils ont $2$ comme diviseur commun. Contradiction avec l'hypothèse d'irréductibilité !

💡Remarque — À retenir

Cette démonstration utilise le raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce qu'on veut montrer, et on aboutit à une contradiction. C'est une technique fondamentale en mathématiques que tu retrouveras tout au long du lycée.

Intervalles et Valeur Absolue

Les intervalles de $\mathbb{R}$

📖Définition — Intervalles

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des nombres réels compris entre deux bornes $a$ et $b$ (avec $a \leq b$ ).

Intervalles bornés :

Notation	Signification	En mots
$[a ; b]$	$a \leq x \leq b$	$a$ et $b$ inclus
$]a ; b[$	$a < x < b$	$a$ et $b$ exclus
$[a ; b[$	$a \leq x < b$	$a$ inclus, $b$ exclu
$]a ; b]$	$a < x \leq b$	$a$ exclu, $b$ inclus

Intervalles non bornés : $[a ; +\infty[$ , $]-\infty ; b]$ , $]-\infty ; +\infty[ = \mathbb{R}$

💡Remarque — Crochet vers l'infini

On utilise toujours un crochet ouvert ( $[$ ou $]$ ) du côté de $+\infty$ ou $-\infty$ , car l'infini n'est pas un nombre réel : on ne peut jamais l'atteindre !

Manipule les intervalles sur cette figure interactive :

⚠️Piège — Intersection vs réunion

Attention à ne pas confondre :

$I \cap J$ (intersection) : les éléments qui sont dans $I$ et dans $J$ (la zone de chevauchement)
$I \cup J$ (réunion) : les éléments qui sont dans $I$ ou dans $J$ (ou les deux)

Astuce : $\cap$ ressemble à un « A » renversé (pense à « And »), $\cup$ ressemble à un « U » (pense à « Union »).

Valeur absolue et distance

📖Définition — Valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel $x$ , notée $|x|$ , est la distance entre le point d'abscisse $x$ et l'origine $O$ sur la droite des réels.

Algébriquement : $|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

✦Proposition — Distance entre deux réels

La distance entre deux réels $a$ et $b$ sur la droite graduée est $|b - a|$ (ou $|a - b|$ , c'est la même chose).

📐Théorème — Valeur absolue et intervalles

Soit $a$ un réel et $r$ un réel strictement positif : $|x - a| \leq r \iff x \in [a - r \;;\; a + r]$ Autrement dit : « la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$ » signifie que $x$ se trouve dans un intervalle centré en $a$ et de rayon $r$ .

Visualise cette propriété fondamentale en bougeant les curseurs :

▶Exemple — Résolution d'une inéquation avec valeur absolue

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|x + 3| < 5$ .

⚠️Piège — Oublier de réécrire sous la forme

|x - a|

Si tu as $|x + 3|$ , n'oublie pas que $x + 3 = x - (-3)$ . Le centre est $a = -3$ , pas $a = 3$ ! C'est une erreur très fréquente en contrôle.

Calcul Algébrique et Identités Remarquables

Les identités remarquables

La maîtrise absolue du développement et de la factorisation est attendue. Ces formules, tu dois les connaître par coeur et savoir les utiliser dans les deux sens.

📐Théorème — Identités remarquables (degré 2)

Pour tous réels $a$ et $b$ :

\begin{align*} (a+b)^2 = a^2 &+ 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2 &- 2ab + b^2 \\ (a-b)(a+b) &= a^2 - b^2 \end{align*}

💡Remarque — Astuce pour retenir

$(a+b)^2$ : le carré du premier, plus le double produit, plus le carré du second.
$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ : c'est l'identité la plus utile pour factoriser. Dès que tu vois une différence de carrés, pense à cette formule !

📐Théorème — Identités remarquables (degré 3)

Pour tous réels $a$ et $b$ :

\begin{align*} (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a-b)^3 &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \\ a^3 - b^3 &= (a-b)(a^2 + ab + b^2) \\ a^3 + b^3 &= (a+b)(a^2 - ab + b^2) \end{align*}

Explore les puissances et leurs propriétés avec ce composant interactif :

Factoriser une expression

🔧Méthode — Factoriser une expression complexe

L'objectif est de transformer une somme en un produit de facteurs.

1
Cherche un facteur commun évident. S'il y en a un, mets-le en évidence.
2
Si aucun facteur commun n'est visible, cherche à faire apparaître une identité remarquable (souvent $A^2 - B^2$ ).
3
Dans les cas avancés, il faut parfois développer partiellement ou regrouper stratégiquement certains termes pour faire apparaître un facteur commun.
4
Vérifie à la fin que chaque facteur ne peut plus être factorisé.

▶Exemple — Factorisation avancée

Factorise $E(x) = (2x-1)^2 - (x+3)^2 + (3x+2)(x-4)$ .

Pièges classiques

⚠️Piège — Simplification et division par zéro cachée

Il est formellement interdit de simplifier par une expression contenant $x$ sans vérifier qu'elle ne s'annule pas.

Exemple d'erreur fatale : Résoudre $x^2 = x$ . L'élève divise par $x$ des deux côtés et obtient $x = 1$ . Le problème : si $x = 0$ , on a divisé par $0$ !

La bonne méthode : factoriser ! $x^2 - x = 0 \iff x(x-1) = 0 \implies x = 0 \text{ ou } x = 1$ Tu trouves deux solutions au lieu d'une seule.

⚠️Piège — Racine carrée d'un carré

Croire que $\sqrt{x^2} = x$ est une erreur très fréquente !

La propriété exacte est : pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2} = |x|$ .

Vérification : si $x = -3$ , alors $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$ . On obtient bien $|x|$ , pas $x$ !

⚠️Piège — Les règles de calcul avec les racines

Attention, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général !

Contre-exemple : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .

En revanche, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est vrai (pour $a, b \geq 0$ ).

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