Première·LycéeGratuit

Second degré

Polynômes du second degré, forme canonique, discriminant, racines, factorisation et signe du trinôme.

Introduction

Le second degré est l'un des piliers de l'algèbre et de l'analyse. Tu l'as déjà rencontré en Seconde sous la forme d'équations simples et de paraboles, mais cette année, tu vas acquérir une maîtrise complète du trinôme $ax^2 + bx + c$ . Pourquoi est-ce si important ? Parce que le second degré intervient partout : en physique pour décrire la trajectoire d'un projectile ou la chute libre, en économie pour optimiser un bénéfice, en ingénierie pour concevoir des antennes paraboliques ou des ponts. Le mathématicien perse Al-Khwarizmi (IXe siècle), dans son célèbre traité Al-jabr, a été le premier à formaliser la résolution systématique de ces équations --- donnant au passage naissance au mot « algèbre ».

Dans ce chapitre, tu apprendras à déterminer la forme canonique d'un trinôme, à calculer son discriminant pour en trouver les racines, à le factoriser, à étudier son signe, et à exploiter les relations entre coefficients et racines. Chaque notion sera illustrée par des exemples détaillés et des outils interactifs pour que tu construises une intuition solide.

Polynôme du second degré : définitions et vocabulaire

Fonction polynôme du second degré

📖Définition — Trinôme du second degré

On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme : $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a$ , $b$ , $c$ sont des nombres réels avec $a \neq 0$ .

$a$ est le coefficient dominant (ou coefficient de $x^2$ )
$b$ est le coefficient de $x$
$c$ est le terme constant

La fonction $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ est appelée fonction polynôme du second degré.

💡Remarque — Pourquoi

a \neq 0

Si $a = 0$ , l'expression $bx + c$ est un polynôme du premier degré (une fonction affine). La condition $a \neq 0$ garantit la présence du terme en $x^2$ , qui donne au trinôme sa nature parabolique.

📖Définition — Racine d'un trinôme

On appelle racine (ou zéro) du trinôme $ax^2 + bx + c$ tout réel $x_0$ tel que : $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ Géométriquement, les racines correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.

Représentation graphique : la parabole

La courbe représentative de $f(x) = ax^2 + bx + c$ est une parabole. Son allure dépend du signe de $a$ :

Si $a > 0$ : la parabole est tournée vers le haut (en forme de U). La fonction admet un minimum.
Si $a < 0$ : la parabole est tournée vers le bas (en forme de $\cap$ ). La fonction admet un maximum.

Explore la parabole et observe comment les coefficients $a$ , $b$ , $c$ influencent sa forme :

Forme canonique

Construction et théorème

La forme développée $ax^2 + bx + c$ n'est pas toujours la plus pratique. En la réécrivant, on peut faire apparaître directement le sommet de la parabole et préparer la résolution de l'équation $f(x) = 0$ .

📐Théorème — Forme canonique

Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ ) s'écrit de manière unique sous la forme : $f(x) = a\left(x - \alpha\right)^2 + \beta$ avec : $\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha) = c - \frac{b^2}{4a}$ Le point $S(\alpha ; \beta)$ est le sommet de la parabole, et la droite $x = \alpha$ en est l'axe de symétrie.

Démonstration : On factorise par $a$ : $f(x) = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right]$ On « complète le carré » en reconnaissant que $x^2 + \frac{b}{a}x = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}$ . Ainsi : $f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right] = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$ En posant $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = c - \frac{b^2}{4a}$ , on obtient bien $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ . $\square$

Méthode pour trouver la forme canonique

🔧Méthode — Déterminer la forme canonique

Pour écrire $f(x) = ax^2 + bx + c$ sous forme canonique :

1
Identifie les coefficients $a$ , $b$ et $c$ .
2
Calcule $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .
3
Calcule $\beta = f(\alpha)$ en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans l'expression de $f$ .
4
Écris le résultat sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ .

▶Exemple — Forme canonique d'un trinôme

Détermine la forme canonique de $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$ .

▶Exemple — Avec un coefficient

a

négatif

Détermine la forme canonique de $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ .

⚠️Piège — Erreur de signe dans le calcul de

\alpha

La formule est $\alpha = -\frac{b}{2a}$ . Fais bien attention au signe de $b$ ! Si $b = -12$ , alors $-\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2a} = +\frac{12}{2a}$ . Beaucoup d'élèves oublient le « moins devant le $b$ » et obtiennent un $\alpha$ de signe opposé. Vérifie toujours que $f(\alpha) = \beta$ en recalculant.

Le discriminant et la résolution de $ax^2 + bx + c = 0$

Définition et rôle du discriminant

📖Définition — Discriminant

Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le nombre réel : $\Delta = b^2 - 4ac$ Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de racines réelles du trinôme.

💡Remarque — Pourquoi ce nom ?

Le mot « discriminant » vient du latin discriminare (séparer, distinguer). C'est exactement son rôle : il permet de distinguer les trois cas possibles pour les racines.

Les trois cas

📐Théorème — Résolution de l'équation

ax^2 + bx + c = 0

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un trinôme de discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Cas 1 : $\Delta > 0$ --- Le trinôme admet deux racines réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ La factorisation est : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Cas 2 : $\Delta = 0$ --- Le trinôme admet une racine double : $x_0 = -\frac{b}{2a}$ La factorisation est : $f(x) = a(x - x_0)^2$ .

Cas 3 : $\Delta < 0$ --- Le trinôme n'admet aucune racine réelle. L'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

Visualise graphiquement le lien entre le discriminant et le nombre d'intersections avec l'axe des abscisses :

Méthode de résolution complète

🔧Méthode — Résoudre

ax^2 + bx + c = 0

Pour résoudre une équation du second degré :

1
Identifie $a$ , $b$ , $c$ (attention : il faut que tout soit du même côté, comparé à $0$ ).
2
Calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ .
3
Conclus selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , applique les formules des deux racines ; si $\Delta = 0$ , donne la racine double ; si $\Delta < 0$ , écris « pas de solution réelle ».

▶Exemple — Équation avec deux racines

Résous l'équation $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

▶Exemple — Équation avec racine double

Résous $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

⚠️Piège — Se tromper dans le signe de

b

dans la formule des racines

La formule est $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Le $-b$ signifie « l'opposé de $b$ ». Si $b = -7$ , alors $-b = 7$ (et non $-7$ ). Cette double négation est la source d'erreur la plus fréquente au baccalauréat. Prends l'habitude de poser $-b = \ldots$ à part, avant de l'injecter dans la formule.

Factorisation du trinôme

Lien entre racines et factorisation

📐Théorème — Factorisation

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un trinôme de discriminant $\Delta$ .

Si $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines.
Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$ où $x_0$ est la racine double.
Si $\Delta < 0$ : $f$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ (pas de factorisation avec des réels).

💡Remarque — Ne jamais oublier le coefficient

a

La factorisation est $a(x - x_1)(x - x_2)$ et non $(x - x_1)(x - x_2)$ . Si tu oublies le $a$ , le produit $(x-x_1)(x-x_2)$ donne un coefficient dominant de $1$ au lieu de $a$ . C'est une erreur très classique !

▶Exemple — Factoriser un trinôme

Factorise $f(x) = -3x^2 + 15x - 12$ .

Signe du trinôme

Règle fondamentale du signe

C'est l'un des résultats les plus utilisés de toute l'année : il te servira en analyse (dérivation), en probabilités, et en géométrie.

📐Théorème — Signe du trinôme

ax^2 + bx + c

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un trinôme.

Si $\Delta < 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Si $\Delta = 0$ : $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$ , et $f(x_0) = 0$ .

Si $\Delta > 0$ (avec $x_1 < x_2$ ) :

$f(x)$ est du signe de $a$ pour $x \in {]{-\infty} ; x_1[} \cup {]x_2 ; {+\infty}[}$ (à l'extérieur des racines)
$f(x)$ est du signe opposé à $a$ pour $x \in {]x_1 ; x_2[}$ (entre les racines)

💡Remarque — Moyen mnémotechnique

Retiens : « signe de $a$ à l'extérieur ». Si $a > 0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Si $a < 0$ , il est négatif à l'extérieur. C'est logique : quand $x \to \pm\infty$ , le terme $ax^2$ domine et son signe est celui de $a$ .

Tableaux de signes

Quand $\Delta > 0$ avec $a > 0$ et $x_1 < x_2$ :

Quand $\Delta > 0$ avec $a < 0$ et $x_1 < x_2$ :

Joue avec le signe du trinôme en modifiant les coefficients et observe les zones positives et négatives :

Résoudre une inéquation du second degré

🔧Méthode — Résoudre une inéquation du second degré

Pour résoudre une inéquation comme $ax^2 + bx + c \geq 0$ :

1
Rassemble tous les termes dans le membre de gauche (pour comparer à $0$ ). Ne divise jamais par une expression contenant $x$ .
2
Calcule le discriminant $\Delta$ du trinôme obtenu.
3
Dresse le tableau de signes en utilisant la règle « signe de $a$ à l'extérieur ».
4
Lis la solution directement dans le tableau selon le sens de l'inégalité ( $\geq$ , $\leq$ , $>$ , $<$ ). N'oublie pas d'inclure ou d'exclure les racines selon que l'inégalité est large ou stricte.

▶Exemple — Inéquation du second degré

Résous l'inéquation $-x^2 + 4x - 3 > 0$ .

⚠️Piège — Diviser par

x

ou une expression en

x

Face à une inéquation comme $x^2 + 3x \geq 2x$ , n'écris jamais « je divise par $x$ » pour obtenir $x + 3 \geq 2$ . Diviser par $x$ est interdit : tu ne sais pas si $x$ est positif (auquel cas l'inégalité est conservée) ou négatif (auquel cas elle s'inverse). De plus, cela élimine la solution $x = 0$ . La bonne méthode : ramène tout à gauche ( $x^2 + x \geq 0$ ) et fais un tableau de signes.

Somme et produit des racines (relations de Viète)

Énoncé

✦Proposition — Relations entre coefficients et racines

Si le trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues), alors : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Démonstration : On part de la factorisation $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ . En développant : $f(x) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2] = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a \cdot x_1 x_2$ Par identification avec $ax^2 + bx + c$ : $b = -a(x_1 + x_2) \implies x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $c = a \cdot x_1 x_2 \implies x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ $\square$

💡Remarque — Utilité des relations de Viète

Ces formules sont puissantes dans au moins trois situations :

Vérification : après avoir trouvé les racines, vérifie que leur somme et leur produit correspondent.
Deuxième racine : si tu connais une racine $x_1$ , la somme te donne $x_2 = -\frac{b}{a} - x_1$ .
Construire un trinôme : si tu veux un trinôme de racines $x_1$ et $x_2$ , prends $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)$ .

Applications des relations de Viète

▶Exemple — Trouver un trinôme connaissant ses racines

Trouve un trinôme du second degré ayant pour racines $-3$ et $5$ , avec un coefficient dominant égal à $2$ .

▶Exemple — Calculer une expression des racines sans les connaître

Soit $f(x) = x^2 - 5x + 3$ . Sans calculer $x_1$ et $x_2$ , détermine $x_1^2 + x_2^2$ .

Équations se ramenant au second degré

Beaucoup d'équations qui ne ressemblent pas, à première vue, à des équations du second degré peuvent s'y ramener par un changement de variable ou une mise en forme astucieuse.

Équations bicarrées

📖Définition — Équation bicarrée

Une équation bicarrée est une équation de la forme : $ax^4 + bx^2 + c = 0$ On la résout en posant $X = x^2$ (avec la condition $X \geq 0$ ), ce qui la transforme en $aX^2 + bX + c = 0$ .

▶Exemple — Résolution d'une équation bicarrée

Résous $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Équations avec quotient

Parfois, une équation rationnelle mène à une équation du second degré après mise au même dénominateur. N'oublie jamais de vérifier que les solutions trouvées n'annulent pas le dénominateur !

Applications et problèmes d'optimisation

Extremum d'un trinôme

✦Proposition — Maximum ou minimum d'un trinôme

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

Si $a > 0$ : $f$ admet un minimum égal à $\beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$ , atteint en $x = \alpha = -\frac{b}{2a}$ .
Si $a < 0$ : $f$ admet un maximum égal à $\beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$ , atteint en $x = \alpha = -\frac{b}{2a}$ .

▶Exemple — Problème d'optimisation

Un agriculteur dispose de $60$ m de clôture pour entourer un enclos rectangulaire adossé à un mur (trois côtés à clôturer). Quelles dimensions maximisent l'aire de l'enclos ?

Variations d'un trinôme

✦Proposition — Sens de variation

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .

Si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]{-\infty} ; \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha ; {+\infty}[$ .
Si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]{-\infty} ; \alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha ; {+\infty}[$ .

Tableau de variations pour $a > 0$ :

Tableau de variations pour $a < 0$ :

Synthèse et stratégie face à un exercice

Voici un résumé des questions que tu dois te poser devant un problème de second degré :

Quelle est la forme du trinôme ? Identifie $a$ , $b$ , $c$ .
Faut-il résoudre $f(x) = 0$ ? Calcule $\Delta$ .
Faut-il factoriser ? Utilise la factorisation adaptée au signe de $\Delta$ .
Faut-il étudier le signe ? Dresse un tableau de signes.
Faut-il optimiser ? Cherche l'extremum via $\alpha = -\frac{b}{2a}$ .
Peux-tu vérifier ? Utilise les relations de Viète.

⚠️Piège — Confondre

\Delta

\sqrt{\Delta}

Le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$ . Sa racine carrée $\sqrt{\Delta}$ n'existe que si $\Delta \geq 0$ . Ne calcule jamais $\sqrt{\Delta}$ avant d'avoir vérifié que $\Delta$ est positif ou nul. Si $\Delta < 0$ , écrire $\sqrt{\Delta}$ n'a aucun sens dans $\mathbb{R}$ (tu le verras en Terminale avec les nombres complexes).

⚠️Piège — Oublier les conditions de validité

Quand tu fais un changement de variable $X = x^2$ , n'oublie pas la condition $X \geq 0$ . Une valeur $X$ négative n'est pas recevable. De même, dans un problème concret (longueurs, aires...), pense à vérifier que les solutions ont un sens physique.

Exercices de synthèse et prolongements

Pour consolider tes acquis, voici les types d'exercices que tu dois maîtriser :

Forme canonique : savoir passer de la forme développée à la forme canonique et inversement.
Résolution : calculer le discriminant, trouver les racines, factoriser.
Tableaux de signes : dresser le tableau et résoudre des inéquations.
Relations de Viète : calculer des expressions symétriques des racines.
Optimisation : modéliser un problème par un trinôme et trouver l'extremum.
Changements de variable : résoudre des équations bicarrées ou des équations se ramenant au second degré.

En Terminale, tu découvriras que les équations du second degré à discriminant négatif ont des solutions... dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ . C'est l'une des plus belles extensions des mathématiques : un problème « sans solution » dans $\mathbb{R}$ en possède toujours dans $\mathbb{C}$ !

Se connecter pour suivre la progression